등비수열 합 공식 유도 증명: 합 구하는 공식 안내

등비수열은 수학에서 매우 중요한 개념으로, 다양한 문제 해결에 활용됩니다. 이번 글에서는 등비수열의 합 공식 유도와 증명 방법을 상세히 살펴보고, 합을 구하는 공식에 대해 안내하겠습니다.

등비수열의 정의

등비수열(Geometric Sequence)이란 각 항이 그 이전 항에 일정한 비율을 곱한 형태로 이루어진 수열을 말합니다. 이 일정한 비율을 공비(Common Ratio)라고 합니다. 예를 들어, 수열 2, 6, 18, 54, ... 는 공비가 3인 등비수열입니다.

등비수열 합 공식 유도

등비수열의 합을 구하는 공식은 수학적으로 매우 유용한 도구입니다. 이를 유도하기 위해 등비수열의 성질을 이용합니다.

등비수열의 첫째 항을 $a$ , 공비를 $r$ , $n$ 번째 항까지의 합을 $S_n$ 이라 하겠습니다.

등비수열의 합을 구하는 공식을 유도하기 위해 다음과 같은 방법을 사용합니다:

등비수열의 합 $S_n$ 을 다음과 같이 두겠습니다. $Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$
이 식을 공비 $r$ 를 곱해줍니다. $rSn=ar+ar2+ar3+⋯+arnrS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n$
이제 $S_n$ 식에서 $rS_n$ 을 빼줍니다. $S_n - rS_n = a - ar^n$ $S_n (1 - r) = a(1 - r^n)$
따라서 $S_n$ 을 구하는 공식은 다음과 같습니다. $Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

이 공식은 $\neq 1$ 일 때 사용됩니다. 공비가 1인 경우는 등차수열이 되므로 별도의 합 공식이 필요합니다.

등비수열 합 공식 증명

공식을 유도하는 과정에서 증명은 이미 포함되어 있지만, 이를 보다 명확하게 이해하기 위해 다시 한 번 정리해 보겠습니다.

첫째 항부터 $n$ 번째 항까지의 등비수열의 합을 $S_n$ 이라고 정의합니다. $Sn=a+ar+ar2+⋯+arn−1S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$
양변에 공비 $r$ 을 곱해줍니다. $rSn=ar+ar2+ar3+⋯+arnrS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n$
두 식을 빼면 다음과 같습니다. $Sn−rSn=a+ar+ar2+⋯+arn−1−(ar+ar2+ar3+⋯+arn)S_n - rS_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} - (ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n)$
좌변을 정리하면 다음과 같습니다. $S_n(1 - r) = a - ar^n$
따라서 등비수열의 합 공식은 $Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ 로 증명됩니다.

등비수열 합 공식의 활용

이제 합 공식을 실제 문제에 적용해보겠습니다. 예를 들어, 첫째 항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 처음 5항의 합을 구해보겠습니다.

첫째 항 $a = 3$
공비 $r = 2$
항의 개수 $n = 5$

공식을 적용하면, $S5=3(1−25)1−2S_5 = \frac{3(1 - 2^5)}{1 - 2}$ $S5=3(1−32)−1S_5 = \frac{3(1 - 32)}{-1}$ $S5=3(−31)−1S_5 = \frac{3(-31)}{-1}$ $S_5 = 93$

따라서, 이 등비수열의 처음 5항의 합은 93입니다.

무한등비수열의 합

무한등비수열의 합을 구하는 공식도 중요합니다. 공비의 절댓값이 1보다 작을 때, 무한등비수열의 합은 수렴하게 됩니다. 이 경우 합 공식은 다음과 같습니다:

$\frac{a}{1 - r}$

예를 들어, 첫째 항이 4이고 공비가 0.5인 무한등비수열의 합을 구해보겠습니다.

첫째 항 $a = 4$
공비 $r = 0.5$

공식을 적용하면, $\frac{4}{1 - 0.5}$ $\frac{4}{0.5}$ $S = 8$

따라서, 이 무한등비수열의 합은 8입니다.

결론

등비수열의 합 공식을 유도하고 증명하는 과정은 수학적으로 매우 유의미하며, 이를 통해 다양한 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다. 위에서 살펴본 공식들은 수학적 문제 해결에 있어서 강력한 도구로 활용될 수 있습니다. 특히, 무한등비수열의 합 공식은 금융, 물리학 등 다양한 분야에서 실질적으로 활용됩니다.

등비수열의 합 공식 유도와 증명에 대해 궁금증이 풀리셨길 바랍니다. 다양한 수학 문제에 이 공식을 활용하여 정확하고 효율적인 해결책을 찾으시길 바랍니다.

이상으로 등비수열 합 공식 유도와 증명에 관한 안내를 마치겠습니다.

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